<Analisi Matematica 1>

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Analisi Matematica I per C.D.L. Matematica

A.A. 2024/2025 - Diario del Corso

docente: Emanuele Callegari (Università di Roma Tor Vergata)

codocente: Roberta Ghezzi (Università di Roma Tor Vergata)

vedi anche il Team del corso.

INFO: Corso Esami

DISPENSE: (in arrivo)

ESERCIZIARIO: Callegari-Marini (anche con Bonus Cultura e su Amazon)
SUPPORTO PER L'ESERCIZIARIO: video-soluzioni dei problemi

Prove d'esame
A.A. 2021-22: [eso1] [1] [2] [3] [4] [5] [6]
A.A. 2022-23: [eso1] [eso2] [1] [2] [3] [4] [6]
A.A. 2023-24: [eso1] [eso2] [1] [2] [3] [4] [5] [6]

Prove d'esame simulate
A.A. 2023-24: [eso1.1] [eso1.2] [eso1.3] [eso1.4] [eso1.5]
A.A. 2023-24: [eso2.1] [eso2.2] [eso2.3] [eso2.4] [eso2.5]
A.A. 2024-25: [eso1.1]

Lezione 1 (Callegari - 23 Settembre 2024 - ore 11:00-13:00)
Insiemi, operazioni tra insiemi, (definizioni, proprietà elementari ed esempi). Riferimenti (su eserciziario): paragrafo 2 del capitolo 1, problemi 27, 28, 40(solo densità).
Materiale didattico: PDF Lez. Grezza
Lavoro proposto per casa: esercizi da 19 a 30 a pag. 10, quesito 4 pag. 14.

Lezione 2 (Callegari - 25 Settembre 2024. - ore 11:00-13:00)
Definizione assiomatica di R e dimostrazione di alcune proprietà non comprese negli assiomi. Definizione di N e dimostrazione di alcune sue proprietà (induttività, non limitatezza, piccolezza arbitraria di 1/n).
Materiale didattico: PDF Lez. Grezza
Lavoro proposto per casa: esercizi da 5 a 18 a pag. 9 e 10; inoltre, anche se a lezione non si e' parlato di funzioni, si puo' ugualmente provare a fare gli asercizi da 45 a 61 di pag. 11, visto che ne ha parlato il docente di geometria.

Lezione 3 (Callegari - 26 Settembre 2024. - ore 11:00-13:00)
Stabilità di N rispetto ad addizione e moltiplicazione. Esempio dell'utilizzo dell'induzione nelle dimostrazioni. Definizione di Z. Definizione di Q. Stabilità di Q rispetto ad addizione e moltiplicazione. Densità di Q
Materiale didattico: PDF Lez. Grezza
Lavoro proposto per casa: indovinare e poi dimostrare per induzione le formule per: 1) contare gli anagrammi di una parola con lettere tutte diverse, 2) calcolare la somma dei primi n numeri dispari 3) calcolare la somma dei primi n numeri triangolari 4) contare gli anagrammi di una parola con lettere che si ripetono (questo è meglio farlo per induzione non sul numero di lettere ma sul numero di tipi di lettere)

Lezione 4 (Callegari - 27 Settembre 2024. - ore 11:00-13:00)
Definizione di A^x nei casi x naturale, x intero, x razionale, x reale. Dimostrazione che A^x e monotona nel caso x razionale. Dimostrazione che l'immagine di Q tramite A^x e' densa in R Dimostrazione che se x e y sono reali allora A^x A^y =A^(x+y)
Materiale didattico: PDF Lez. Grezza
Lavoro proposto per casa:

Lezione 5 (Callegari - 2 Ottobre 2024. - ore 11:00-13:00)
Topologia in R. Intorni. Punti interni, esterni, di frontiera, di accumulazione, isolati. Insiemi aperti, chiusi, densi, discreti. Caratterizzazione degli insiemi chiusi. Unione e intersezione di famiglie finite o infinite di insiemi aperti e chiusi. Esercizi.
Materiale didattico: PDF Lez. Grezza
Lavoro proposto per casa: Quesiti (anno scorso) - [risposte] - alcune videosoluzioni: [p2] [p5] [p7] [p14]

Lezione 6 (Callegari - 3 Ottobre 2024. - ore 11:00-13:00)
Definizione di successione a valori in R e di limite (con utilizzo di "definitivamente" e "frequentemente"). Esempi di calcolo di limiti con la sola definizione. Primi Teoremi: unicità del limite, permanenza del segno, limitatezza delle successioni convergenti, limite di successioni monotone.
Materiale didattico: PDF Lez. Grezza
Lavoro proposto per casa:

Lezione 7 (Callegari - 4 Ottobre 2024. - ore 11:00-13:00)
Teoremi del confronto ed esempi del loro utilizzo nel calcolo dei limiti. Operazioni sui limiti (caso standard). Generalizzazione del teorema sul limite della somma. 2 generalizzazioni del teorema sul limite del prodotto. 1 generalizzazioni del teorema sul limite del quoziente. Esempi.
Materiale didattico: PDF Lez. Grezza
Lavoro proposto per casa:

Lezione 8 (Callegari - 7 Ottobre 2024. - ore 11:00-13:00)
3 generalizzazioni del teorema sul limite del quoziente. Forme indeterminate. Confronto di infiniti e infinitesimi. Catena degli infiniti. Esempi.
Materiale didattico: PDF Lez. Grezza
Lavoro proposto per casa: Prima lista esercizi

Lezione 9 (Callegari - 10 Ottobre 2024. - ore 11:00-13:00)
Catena degli infiniti con a_n al posto di n. Il numero di nepero. Esempi di funzioni tali che se a_n->l allora f(a_n)->f(l). a_n^b_n->L^l. Se a_n->\infty allora (1+1/a_n)^(a^n)->e. Cenni sul teorema del rapporto.
Materiale didattico: PDF Lez. Grezza
Lavoro proposto per casa:

Lezione 10 (Callegari - 11 Ottobre 2024. - ore 11:00-13:00)
Esercizi presi da Prima lista esercizi Teorema del rapporto. Relazione tra esistenza dei limiti di a_(n+1)/a_n e di radice n-esima di a_n.
Materiale didattico: PDF Lez. Grezza; il teorema del rapporto e la sua dimostrazione si trovano a pag. 63 di Eserciziario adottato; la spiegazione (dimostrazione compresa) della relazione tra i limiti di a_(n+1)/a_n e di radice n-esima di a_n si trovano in Rapporto e Radice
Lavoro proposto per casa: assegnata da svolgere Prova Simulata n.1 e in seguito svolta dal docente in un ricevimento on line il cui pdf (molto) grezzo della lavagna si trova in Ricevimento Grezzo;

Lezione 11 (Callegari - 16 Ottobre 2024. - ore 11:00-13:00)
Sottosuccessioni. Tutte le sottosuccessioni di una successione che ha limite hanno lo stesso limite della successione. Teorema di Bolzano-Weierstrass. Caratterizzazione degli insiemi chiusi con le successioni. Compatti: definizione e caratterizzazione come chiusi e limitati. Definizione di Successione di Cauchy.
Materiale didattico: PDF Lez. Grezza; Ricevimento Studenti Grezzo;
Lavoro proposto per casa:

Lezione 12 (Callegari - 17 Ottobre 2024. - ore 11:00-13:00)
Definizione di Successione di Cauchy. Limitatezza delle successioni di Cauchy. Equivalenza con successioni convergenti. Definizione di liminf e limsup. Caratterizzazioni equivalenti
Materiale didattico: PDF Lez. Grezza; VideoLezione/ su liminf e limsup;
Lavoro proposto per casa:

Lezione 13 (Callegari - 18 Ottobre 2024. - ore 11:00-13:00)
Dimostrazione dell'equivalenza dei 4 modi di definire limsup e liminf. Relazione tra limsup, liminf e limite. Esempi.
Materiale didattico: PDF Lez. Grezza;
Lavoro proposto per casa: - Esercitarsi con la Seconda lista esercizi e verificare la corrispondenza dei propri risultali con le Risposte della seconda lista

Lezione 14 (Callegari - 23 Ottobre 2024. - ore 11:00-13:00)
Definizione di limite per funzioni in una variabile; Definizione geenerale di limite; Caratterizzazione con le successioni (Teorema ponte) Esempi di utilizzo del teorema ponte per dimostrare per le funzioni teoremi che siano gia' noti per le successioni (operazioni sui limiti, teoremi del confronto)
Materiale didattico: PDF Lez. Grezza;
Lavoro proposto per casa:

Lezione 15 (Callegari - 24 Ottobre 2024. - ore 11:00-13:00)
Teoremi di unicita' del limite, permanenza del segno, funzioni monotone, limite di funzione composta,
Materiale didattico: PDF Lez. Grezza Scorso Anno;
Lavoro proposto per casa:

Lezione 16 (Callegari - 25 Ottobre 2024. - ore 11:00-13:00)
Limite destro e sinistro; limiti notevoli; esempi
Materiale didattico: PDF Lez. Grezza; video: [esercitazione sui limiti di funzioni (2014)]
Lavoro proposto per casa:

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