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Analisi Matematica I per ing. Edilizia, Edile-Arch.

A.A. 2016/2017 - Diario del Corso

docente: Emanuele Callegari (Università di Roma Tor Vergata)

Vedi anche: Canale YouTube - Corso di Analisi 1 - Eserciziario di Analisi 1 - Prove d'Esame di Analisi 1 - Pagina docente



Lezione 1 (3 Ottobre 2016 - ore 11:30-13:15)
Numeri Naturali, Interi, Razionali e Reali. Definizioni di maggiorante, minorante, massimo, minimo, estremo inferiore ed estremo superiore. Completezza dei reali (senza dimostrazione). Proprietà archimedea e corollari (con dimostrazione). Densità dei razionali nei reali (con dimostrazione).
Materiale didattico: Gli argomenti sono quelli spiegati nella Video-Lezione n.1 (I e II parte) del Corso di Analisi 1
Esercizi consigliati: quelli della lista n.1 dell' Eserciziario di Analisi 1

Lezione 2. (5 Ottobre 2016 - ore 11:30-13:15)
Insiemi (notazione). Operazioni e relazioni tra insiemi (inclusione, unione, intersezione, differenza e complementazione). Proprietà delle operazioni tra insiemi, in particolare proprietà distributive tra unione e intersezione e leggi di De Morgan. Topologia di R: definizioni di intorno, punto interno, esterno, di frontiera, di accumulazione, insieme aperto, chiuso, denso, discreto. Teorema che caratterizza i chiusi (dimostrazione compresa, anche se posticipata alla prossima lezione per motivi di tempo).
Materiale didattico: Gli argomenti sono quelli spiegati nella Video-Lezione n.2 (I e II parte) del Corso di Analisi 1
Esercizi consigliati: quelli della lista n.2 dell' Eserciziario di Analisi 1 omettendo momentaneamente quelli dal n.5 al n.16 e quelli dal n.31 in poi, che richiedono nozioni che verranno introdotte nella lezione 3.

Lezione 3. (6 Ottobre 2016 - ore 14:00-15:45)
Dimostrazione del teorema sulla caratterizzazione degli insiemi chiusi. Teorema: unione e intersezione di due insiemi aperti (chiusi) è aperta (chiusa) (con dimostrazione). Cenni al fatto che se gli insiemi aperti sono infiniti allora l'unione è aperta ma l'intersezione può non esserlo (senza dimostrazione, solo controesempio per intersezione). Fatto lo stesso anche per famiglie infinite di chiusi (scambiando unione con intersezione). Teorema: un insieme chiuso e inferiormente (superiormente) limitato ha minimo (massimo) (con dimostrazione). Teorema di Bolzano-Weierstrass (con dimostrazione).
Materiale didattico: Gli argomenti sono spiegati nella Video-Lezione n.3 (solo la I parte) del Corso di Analisi 1. Manca il caso di unione e intersezione infinita: lo studente può farsi un'idea di cosa succede guardando il video con lo svolgimento del problema n.7 della Lista n.2 dell' Eserciziario.
Esercizi consigliati: terminare la lista n.2 dell' Eserciziario di Analisi 1 cimentandosi con i problemi rimanenti, cioè quelli che vanno dal n.5 al n.16 e quelli dal n.31 in poi.

Lezione 4. (10 Ottobre 2016 - ore 11:30-13:15)
Funzioni: definizione di dominio, codominio, immagine, controimmagine. Definizione di funzione iniettiva, suriettiva, biiettiva. Definizioni di funzione inversa e di funzione composta. Non commutatività della composizione di funzioni. Funzioni tra insiemi numerici. Definizione ed esempi di funzione crescente/decrescente debolmente/strettamente. Definizione ed esempi di funzione pari/dispari. Definizione ed esempi di funzione periodica. Grafici di funzioni ottenibili con trasformazioni geometriche a partire da grafici noti (a quest'ultimo argomento in aula si è solo accennato, verrà però ripreso nell'esercitazione di giovedì 13 ottobre e comunque è presente nelle video-lezioni)
Materiale didattico: Gli argomenti sono spiegati nella Video-Lezione n.3 (solo la II parte) e nella Video-Lezione n.4 (I e II parte) del Corso di Analisi 1. Inoltre si possono trovare molti esercizi già svolti, sempre sugli stessi argomenti, nella Video-Lezione n.5 sempre del Corso di Analisi 1,
Esercizi consigliati: quelli della lista n.3 dell' Eserciziario di Analisi 1, tenendo presente che per fare bene quelli che vanno dal n.51 in poi è preferibile prima guardarsi le lezioni registrate, visto che in aula se ne è solo accennato. L'argomento verrà comunque affrontato nell'esercitazione di Giovedì prossimo.

Lezione 5. (12 Ottobre 2016 - ore 11:30-13:15)
Definizioni di successione, limite (finito e infinito) di una successione, successione indeterminata. Primi esempi di ciascun tipo: a_n=1/n, a_n=n, a_n=(-1)^n. Teoremi (tutti con dimostrazione): unicità del limite, permanenza del segno, limitatezza delle successioni convergenti ad un limite finito, confronto (limiti finiti), confronto (limiti infiniti). Esempi di applicazioni dei teoremi del confronto per il calcolo di limiti.
Materiale didattico: Tutti gli argomenti sono spiegati nella Video-Lezione n.6 del Corso di Analisi 1
Esercizi consigliati: svolgere tutti i problemi della lista n.4 e della lista n.5 dell' Eserciziario di Analisi 1

Lezione 6. (13 Ottobre 2016 - ore 14:00-15:45)
Successioni monotone. Teorema di esistenza del limite per una successione monotona (con dimostrazione). Teorema (operazioni tra limiti): limite di somma, prodotto e quoziente di successioni con limite finito (con dimostrazione). Limite notevole: n^a (a positivo) tende ad infinito (con dimostrazione). Generalizzazione del limite della somma al caso in cui una delle due successioni tende ad infinito (con dimostrazione). Generalizzazione del limite del prodotto al caso in cui una delle due successioni tende ad infinito o a zero (senza dimostrazione). Generalizzazione del limite del quoziente al caso in cui il numeratore (o il denominatore) tende ad infinito o a zero (senza dimostrazione). Forme indeterminate ed esempi.
Materiale didattico: Il teorema del limite di successioni crescenti è alla fine della Video-Lezione n.6, gli altri argomenti sono contenuti nella Video-Lezione n.7 del Corso di Analisi 1.
Esercizi consigliati: Per affrontare i problemi della Lista n.6 bisogna aspettare i limiti notevoli che verranno introdotti nella lezione 7, quindi, per il momento continuare a cimentarsi con i problemi della lista n.4 e della lista n.5 dell' Eserciziario di Analisi 1.

Lezione 7. (17 Ottobre 2016 - ore 11:30-13:15)
Teorema sulla "catena degli infiniti": confronto tra infiniti delle funzioni logaritmo, potenza, esponenziale, fattoriale ed n^n (con dimostrazione). Teorema che generalizza la catena degli infiniti (mettendo a_n->+infty al posto di n) (senza dimostrazione). Teorema del rapporto (con dimostrazione). Esempi di calcolo di limiti.
Materiale didattico: Tutti gli argomenti (ad eccezione del Teorema del Rapporto) sono contenuti nella Video-Lezione n.8 del Corso di Analisi 1. Il teorema del rapporto viene invece utilizzato e dimostrato nel video con lo svolgimento del problema n.34 della lista n.6 dell' Eserciziario di Analisi 1.
Esercizi consigliati: Si possono ora affrontare i problemi della lista n.6 dell' Eserciziario di Analisi 1.

Lezione 8. (19 Ottobre 2016 - ore 11:30-13:15)
Il numero di Nepero: Teorema che afferma l'esistenza del limite di (1+1/n)^n (con dimostrazione). Teorema che generalizza il precedente: limite di (1+1/a_n)^(a_n) (con dimostrazione). Esempi di calcolo di limiti. Teorema: A^(a_n) tende ad A^L (con dimostrazione). Teorema: altri casi in cui f(a_n) tende a f(L) (senza dimostrazione). Teorema: (a_n)^(b_n) tende a l^L (con dimostrazione). Alcuni limiti notevoli: n^(1/n), ((n!)^2)/(n^n).
Materiale didattico: Tutti gli argomenti (tranne i due limiti notevoli finali) sono contenuti nelle due parti della Video-Lezione n.9 del Corso di Analisi 1.
Esercizi consigliati: Si possono ora affrontare i problemi della lista n.7 dell' Eserciziario di Analisi 1.

Lezione 9. (20 Ottobre 2016 - ore 14:00-15:45)
Definizioni di o-piccolo, o-grande, asintotica equivalenza, infiniti dello stesso ordine. Teoremi che descrivono quando si possono togliere gli o-piccoli e quando si possono sostituire parti con altre asintoticamente equivalenti senza che il limite cambi (con dimostrazione). Esempi di applicazioni. Esempi in cui invece, togliendo gli o-piccoli, il limite cambia.
Materiale didattico: Gli argomenti (anche se con esempi diversi da quelli fatti a lezione) sono tutti contenuti nella Video-Lezione n.11 del Corso di Analisi 1
Esercizi consigliati: Si possono ora affrontare i problemi della lista n.8 e della lista n.9 dell' Eserciziario di Analisi 1

Lezione 10. (24 Ottobre 2016 - ore 11:30-13:15)
Definizione di sottosuccessione. Teorema: se una successione tende ad un certo limite, allora anche tutte le sue sottosuccessioni tendono a quel limite (con dimostrazione). Teorema: da una successione limitata si può sempre estrarre una sottosuccessione convergente ad limite finito (con dimostrazione). Teorema: Caratterizzazione degli insiemi chiusi usando le successioni (con dimostrazione). Definizione di compatto per successioni. Esempi di insiemi non compatti, dimostrando (a mano!) che non lo sono: (0,1) e R. Caratterizzazione degli insiemi compatti in R (con dimostrazione).
Materiale didattico: Gli argomenti sono tutti contenuti nella Prima Parte della Video-Lezione n.12 del Corso di Analisi 1
Esercizi consigliati: Su questo argomento, che è soprattutto teorico, non ho ancora messo una lista di problemi. Lo studente continui a cimentarsi con gli esercizi della lista n.8 e della lista n.9 dell' Eserciziario di Analisi 1

Lezione 11. (26 Ottobre 2016 - ore 11:30-13:15)
Definizione di punto limite per una successione. Teorema: L'insieme dei punti limite finiti è un insieme chiuso (con dimostrazione). Teorema: L'insieme dei punti limite ha sempre massimo e minimo (con dimostrazione). Definizione di massimo limite e di minimo limite per una successione. Teorema: Una successione ha limite se e solo se massimo e minimo limite coincidono (con dimostrazione). Definizione di successione di Cauchy. Lemma: Se una successione è di Cauchy allora è limitata (con dimostrazione). Teorema: Una successione ha limite finito se e solo se è di Cauchy (con dimostrazione).
Materiale didattico: Gli argomenti sono tutti contenuti nella Seconda Parte della Video-Lezione n.12 del Corso di Analisi 1
Esercizi consigliati: Ho finalmente messo on-line una lista di domande teoriche sulle successioni (corredata delle risposte) con le quali invito gli studenti a cimentarsi. Si tratta della lista T1 dell' Eserciziario di Analisi 1.

Lezione 12. (27 Ottobre 2016 - ore 14:00-15:45)
Definizione di limite di una funzione per x->x_0 nei seguenti casi: 1) limite finito e x_0 finito, 2) limite=+infinito e x_0 finito, 3) limite finito e x_0=-infinito (altri 6 casi per esercizio a casa). Esempio in cui si verifica quanto vale il limite usando solo la definizione. Definizione di R*, intorni di +infinito e -infinito, insiemi che si accumulano ad infinito. Definizione generale di limite. Definizione di intorno destro e sinistro e punto di accumulazione destro e sinistro. Definizione di limite destro e sinistro. Teorema Ponte (con dimostrazione).
Materiale didattico: Gli argomenti sono tutti contenuti nella Video-Lezione n.13 del Corso di Analisi 1
Esercizi consigliati: Si possono affrontare tutti i quesiti della lista T2 dell' Eserciziario di Analisi 1

Lezione 13. (31 Ottobre 2016 - ore 11:30-13:15)
Per non ostacolare gli studenti che avevano programmato il ponte con i docenti delle altre materie, non sono andato avanti ma ho solo svolto i seguenti esercizi, discutendone i possibili procedimenti sbagliati: es. 7 della lista 8, es. 15 della lista 9, es. 2 fila A del I esonero 14/15, es. 2 fila A del I appello estivo 14/15, es. 1 fila B del I appello autunnale 15/16.
Materiale didattico: In seguito è possibile che aggiunga all'eserciziario i video con alcuni degli esercizi svolti a lezione.

Lezione 14. (2 Novembre 2016 - ore 11:30-13:15)
Teorema dell'unicità del limite (con dimostrazione). Teorema della permanenza del segno (con dimostrazione). Teoremi del confronto (con dimostrazione). Teorema delle operazioni sui limiti (con dimostrazione). Teorema della catena degli infiniti (con dimostrazione). Limite notevole: (1+1/x)^x per x->infinito e limiti ad esso riconducibili.
Materiale didattico: Gli argomenti sono quasi tutti contenuti nella Video-Lezione n.14 del Corso di Analisi 1. Mancano solo gli ultimi limiti notevoli, che però verranno ripresi nella lezione successiva dopo il teorema del limite della funzione composta.
Esercizi consigliati: Lo studente non può cimentarsi con tutti i problemi delle lista 10 e 11 . Per ora si limiti a cimentarsi con i problemi 21 e 22 della lista 10 e con i problemi 7 , 8 e 10 della lista 11 dell' Eserciziario di Analisi 1

Lezione 15. (3 Novembre 2016 - ore 14:00-15:45)
Teorema del limite di funzioni monotone (con dimostrazione del caso finito). Esempi in cui ci si aspetta che il teorema del limite di funzione composta si possa applicare ed esempi in cui invece non si puo'. Definizione di funzione continua. Teorema ponte per funzioni continue (senza dimostrazione). Teorema sul limite della funzione composta (con dimostrazione). Teorema: continuità delle funzioni potenza, esponenziale e logaritmo (con dimostrazione). Limiti notevoli: lista completa sia di quelli riconducibili a (1+1/x)^x sia di quelli riconducibili a sin(x)/x (con verifica).
Materiale didattico: Il teorema del limite di funzioni monotone è contenuto nella Video-Lezione n.14 del Corso di Analisi 1 Tutti gli altri argomenti sono contenuti nelle 2 parti della Video-Lezione n.15 del Corso di Analisi 1
Esercizi consigliati: Si possono affrontare tutti i problemi della lista 10 dell' Eserciziario di Analisi 1

Lezione 16. (7 Novembre 2016 - ore 11:30-13:15)
Definizioni di equivalenza asintotica, ordine di infinito/infinitesimo, o-piccolo, o-grande. Principali proprietà di o-piccoli e asintotiche equivalenze (con dimostrazione). Limiti notevoli riscritti con asintotiche equivalenze e o-piccoli. Generalizzazione dei limiti notevoli: mettere al posto di x, una f(x) che tende a zero. Esempi di calcolo di limiti con le regole appena introdotte.
Materiale didattico: Gli argomenti sono tutti contenuti nelle 2 parti della Video-Lezione n.16 mentre molti esempi di calcolo di limiti utilizzando le regole introdotte, si possono trovare nella Video-Lezione n.18 del Corso di Analisi 1
Esercizi consigliati: Si continui ad esercitarsi con i problemi della lista 10 e si cominci ad affrontare quelli delle liste lista 11 e lista 12 dell' Eserciziario di Analisi 1, aiutandosi con gli esempi contenuti nella Video-Lezione n.18 del Corso di Analisi 1

Lezione 17. (9 Novembre 2016 - ore 11:30-13:15)
Definizione di funzione continua in un punto e su un insieme. Classificazione dei punti di discontinuità. Teorema della permanenza del segno (con dimostrazione). Teorema degli zeri (con dimostrazione). Teorema dei valori intermedi (con dimostrazione). Teorema della composizione di funzioni continue (con dimostrazione). Teorema sulla continuità di somma, prodotto, quoziente, |f|, f_, f+, max(f,g), min (f,g) (con dimostrazione).
Materiale didattico: I video con le dimostrazioni dei teoremi fatti a lezione sono tutti linkati alla voce Video-Lezione n.17 del Corso di Analisi 1
Esercizi consigliati: Esercitarsi con i problemi della lista 13 dell' Eserciziario di Analisi 1
Supporto allo studio: Attiverò i sondaggi per i nuovi quesiti nella prossima settimana. Per il momento ricordate che alle 24:00 di Venerdì 11 Novembre scadono quelli della lista 10 , della lista 11 e della lista 12 dell' Eserciziario di Analisi 1. Votate su Facebook o YouTube.

Lezione 18. (10 Novembre 2016 - ore 14:00-15:45)
Definizione di insieme numerabile. Teorema: unione al più numerabile di insiemi al più numerabili è al più numerabile (senza dimostrazione). Teorema sui punti di discontinuità delle funzioni monotone (con dimostrazione). Teorema: equivalenza tra monotonia stretta e iniettività per le funzioni continue su intervalli (con dimostrazione). Continuità di inversa di funzione continua: esempio in cui non c'è. Teorema: continuità di inversa di funzione continua su intervallo o su compatto (con dimostrazione).
Materiale didattico: Alcuni video con le dimostrazioni dei teoremi fatti a lezione sono linkati alla voce Video-Lezione n.19 del Corso di Analisi 1. Gli altri verranno linkati in seguito.
Esercizi consigliati: Presto, verrà caricata una nuova lista di quesiti teorici sulle funzioni continue, al momento continuare ad esercitarsi con i problemi della lista 13 dell' Eserciziario di Analisi 1

Lezione 19. (14 Novembre 2016 - ore 11:30-13:15)
Dimostrazione del teorema della continuità della funzione inversa di una funzione continua definita su un compatto. Teorema di Weierstrass (con dimostrazione). Definizione di funzione uniformemente continua. Teorema di Heine-Cantor (con dimostrazione). Definizione di funzione Lipschitziana. Relazione tra Lipschitzianità e Continuità Uniforme (con dimostrazione e controesempi).
Materiale didattico: Gli argomenti trattati (tranne la dimostrazione dell'ultimo teorema enunciato nella lezione precedente) sono contenuti nella Video-Lezione n.20 del Corso di Analisi 1
Esercizi consigliati: Continuare ad esercitarsi con i problemi della lista 13 dell' Eserciziario di Analisi 1

Lezione 20. (16 Novembre 2016 - ore 11:30-13:15)
Teorema sulle proprietà delle funzioni uniformemente continue: sublinearità e estensione continua al bordo del dominio (con dimostrazione). Esercizi sulle funzioni Uniformemente Continue.
Materiale didattico: La dimostrazione della sublinearità è contenuta nella Video-Lezione n.20 del Corso di Analisi 1. Quella dell'estendibilità verrà caricata al più presto.
Esercizi consigliati: Provare a rispondere ai quesiti della lista T3 dell' Eserciziario di Analisi 1. Attenzione che alcuni quesiti sono delicati e richiedono un'adeguata riflessione.

Lezione 21. (17 Novembre 2016 - ore 14:00-15:45)
Esempi di retta tangente. Definizione di retta tangente e di derivata. Teorema: derivabilità implica continuità (con dimostrazione). Teorema: relazione tra derivabilità e esistenza di retta tangente (con dimostrazione). Calcolo di derivate: costante, x, sin(x), cos(x). Teorema sulle operazioni tra funzioni derivabili (con dimostrazione). Calcolo di derivate: tan(x), x^n.
Materiale didattico: Tutti gli argomenti sono contenuti nella Video-Lezione n.21 del Corso di Analisi 1.
Esercizi consigliati: Prima di cimentarsi con esercizi sulle derivate è preferibile aspettare il teorema sulla derivata della funzione composta. Nel frattempo continuare a cimentarsi con i quesiti della lista T3 dell' Eserciziario di Analisi 1.

Lezione 22. (21 Novembre 2016 - ore 11:30-13:15)
Teorema della derivata della funzione composta (con dimostrazione). Calcolo di derivate: e^x, a^x, ln x, log_a(x), x^a, x^x, f(x)^g(x). Teorema della derivata della funzione inversa (con dimostrazione). Calcolo di derivate: arctan x, arcsin x, arccos x. Ulteriori esempi: funzioni iperboliche dirette e inverse.
Materiale didattico: La video-lezione non è ancora disponibile, nel frattempo fare riferimento al libro di testo.
Esercizi consigliati: Si può cominciare a cimentarsi con i quesiti della lista 14 dell' Eserciziario di Analisi 1.

Lezione 23. (23 Novembre 2016 - ore 11:30-13:15)
Derivata destra e sinistra. Punti angolosi, di cuspide e di flesso a tangente verticale (definizione ed esempi). Teorema sulla derivata nei punti di estremo relativo (con dimostrazione). Teorema di Rolle (con dimostrazione). Teorema di Lagrange (con dimostrazione). Teorema di Cauchy (con dimostrazione). Teorema che caratterizza le funzioni lipschitziane derivabili (con dimostrazione). Esempio di applicazione: studiare eventuale lipschitzianità di arctan x e sin(x^2). Definizione di primitiva. Teorema che caratterizza le primitive di una funzione su un intervallo (con dimostrazione)
Materiale didattico: La video-lezione non è ancora disponibile, nel frattempo fare riferimento al libro di testo.
Esercizi consigliati: Continuare a cimentarsi con i quesiti della lista 14 dell' Eserciziario di Analisi 1.

Lezione 24. (24 Novembre 2016 - ore 14:00-15:45)
Teorema che mette in relazione la derivata destra (sinistra) in un punto con il limite destro (sinistro) in quel punto della derivata (con dimostrazione). Svolti i problemi della prova simulata Sim5 presa da Test e Prove simulate di Analisi 1.
Materiale didattico: La video-lezione non è ancora disponibile, nel frattempo fare riferimento al libro di testo.
Esercizi consigliati: Oltre a prepararsi per l'esonero, continuare a cimentarsi con i quesiti della lista 14 dell' Eserciziario di Analisi 1.

Lezione 25. (28 Novembre 2016 - ore 11:30-13:15)
Svolti i problemi della prova simulata Sim6 presa da Test e Prove simulate di Analisi 1.
Materiale didattico: La video-lezione non è ancora disponibile.
Esercizi consigliati: Prepararsi per l'esonero, cimentandosi con le prove di esonero degli scorsi anni disponibili su Test e Prove simulate di Analisi 1.

Lezione 26. (30 Novembre 2016 - ore 11:30-13:30)
Al posto della lezione si è tenuto il Primo Esonero. Il testo della prova e i risultati sono disponibili alla voce SU1 dell'anno accademico 2016/2017 della pagina Test e Prove simulate di Analisi 1.

Lezione 27. (1 Dicembre 2016 - ore 14:00-15:45)
Teorema che mette in relazione il segno della derivata con la monotonia della funzione (con dimostrazione). Svolti i problemi del Primo Esonero, il cui testo è disponibile alla voce SU1 dell'anno accademico 2016/2017 della pagina Test e Prove simulate di Analisi 1.
Materiale didattico: La video-lezione non è ancora disponibile, nel frattempo fare riferimento al libro di testo.

Lezione 28. (5 Dicembre 2016 - ore 11:30-13:15)
Teorema di De l'Hopital (con dimostrazione). Esempio in cui f/g ha limite mentre f'/g' non ce l'ha. Esempio introduttivo al polimomio di Taylor: trovare la parabola che "approssima meglio" e^x per x->0. Definizione di funzione di classe C^n. Definizione di polinomio di Taylor. Teorema di Peano (con dimostrazione)
Materiale didattico: Tutti gli argomenti sono contenuti nella Video-Lezione n.27 del Corso di Analisi 1
Esercizi consigliati: Per il momento nessuno: dopo la prossima lezione (finito Taylor) si potranno affrontare i problemi della lista 15 dell' Eserciziario di Analisi 1

Lezione 29. (7 Dicembre 2016 - ore 11:30-13:15)
Sviluppi di Taylor di: e^x, sin x, cos x. Sviluppo di Taylor di 1/(1-x). Osservazione su come trovare sviluppo di f(g(x)). Sviluppi di Taylor di: 1/(1+x), 1/(1+x^2). Relazione tra polinomi di Taylor di f e f'. Sviluppi di Taylor di: ln(1+x), arctan x, (1+x)^a. Esempio del loro utilizzo per calcolare un limite.
Materiale didattico: Tutti gli argomenti sono contenuti nella Video-Lezione n.28 del Corso di Analisi 1
Esercizi consigliati: Si possono ora affrontare i problemi della lista 15 dell' Eserciziario di Analisi 1

Lezione 30. (12 Dicembre 2016 - ore 11:30-13:15)
Esercizi sugli sviluppi di Taylor e sul loro utilizzo per il calcolo dei limiti (es 5 e 11 della lista 15). Esempio (simile ad es. 25 lista 14) di funzione non identicamente nulla ma avente sviluppo di Taylor di ogni ordine identicamente nullo. Esempio (es. 24 lista 14) di funzione derivabile ma non C^1.
Materiale didattico: Esempi paragonabili a quelli svolti in aula si possono trovare nell'ultima parte della Video-Lezione n.28 del Corso di Analisi 1. Invece lo svolgimento dell'esercizio 25 della lista 14 è già su YouTube: Ex25L14.
Esercizi consigliati: Svolgere tutti i limiti proposti nella lista 15 dell' Eserciziario di Analisi 1 che verrà presto ampliata.

Lezione 31. (14 Dicembre 2016 - ore 11:30-13:15)
Definizione di funzione debolmente convessa e strettamente convessa. Teorema di caratterizzazione delle funzioni convesse con i rapporti incrementali (dimostrazione omessa). Teorema di regolarità per le funzioni convesse (con dimostrazione).
Materiale didattico: La video-lezione non è ancora disponibile, nel frattempo fare riferimento al libro di testo.
Esercizi consigliati: Ancora nessuno su questo argomento. Continuare ad esercitarsi con gli esercizi della lista 15 dell' Eserciziario di Analisi 1

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