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Analisi Matematica II per C.D.L. Matematica
A.A. 2019/2020 - Diario del Corso
docente: Emanuele Callegari (Università di Roma Tor Vergata)
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ESAMI
Burocrazia:
Regole
Calendario
I Appello Estivo:
Come partecipare,
Testo,
Soluzioni.
II Appello Estivo:
Come partecipare,
Testo e Soluzioni.
I Appello Autunnale:
Come partecipare,
Testo e Soluzioni.
II Appello Autunnale:
Come partecipare,
Testo e Soluzioni.
I Appello Invernale:
Come partecipare,
Testo e Soluzioni.
II Appello Invernale:
Come partecipare,
Testo e Soluzioni.
Lezione 1
(2 Marzo 2020 - ore 11:00-13:00)
Definizione di Partizione e di Somme di Riemann.
Ordinamento parziale delle partizioni.
Comportamento di Somme di Riemann quando si raffina la partizione.
Definizione di integrale inferiore e superiore.
Definizione di integrale di Riemann.
Esempi: integrabilità di x e x^2, non integrabilità di Funzione di Dirichlet.
Materiale didattico:
PDF della lavagna
Lezione 2
(4 Marzo 2020 - ore 11:00-13:00)
Due condizioni equivalenti all'integrabilità.
Combinazioni lineari di funzioni integrabili sono ancora integrabili.
Se f e g sono integrabili allora lo sono anche f^+, f^-, |f|, Max{f,g} e Min{f,g}.
Monotonia dell'integrale.
Disuguaglianza dell'integrale del modulo.
Additività dell'integrale di Riemann sugli intervalli.
Integrale sull'intervallo orientato e ancora proprietà di additività.
Integrabilità delle funzioni continue e di quelle monotone.
Materiale didattico:
PDF della lavagna
Esercitazione 1
(4 Marzo 2020 - ore 14:00-16:00)
Materiale didattico:
Lista Problemi,
Soluzioni.
Lezione 3
(Registrata il 9 Marzo 2020)
Funzione integrale.
Lipschitzianità della funzione integrale.
Derivabilità della funzione integrale nei punti di continuità dell'integranda (Teo. Fondamentale del C.I.).
Coseguenze: calcolo dell'integrale attraverso la primitiva.
Esempi.
Materiale didattico:
Video
PDF della lavagna
Lezione 4
(16 Marzo 2020 - ore 11:00-13:00)
Tecniche di integrazione: integrazione per parti e per sostituzione. Esempi notevoli.
Materiale didattico:
PDF della lavagna
Ricevimento studenti
(16 Marzo 2020 - ore 14:00-16:00)
Si è svolto on line con le stesse modalità della lezione.
Lezione 5
(18 Marzo 2020 - ore 11:00-13:00)
Integrazione di funzioni razionali e di funzioni riconducibili a funzioni razionali. Esempi.
Materiale didattico:
PDF della lavagna
Esercitazione 2
(18 Marzo 2020 - ore 14:00-16:00)
Discussi gli esercizi 20 e 21 della lista.
Posto quesito: quanto si può indebolire l'ipotesi della continuità della funzione integranda
nel teorema del cambio di variabile?
Materiale didattico:
Lista Problemi,
Risposte.
PDF grezzo della lavagna.
Lezione 6
(20 Marzo 2020 - ore 9:00-11:00)
Problema dell'estendibilità della funzione integrale sul bordo del dominio dell'integranda. Esempi.
Estendibilità al bordo delle funzioni uniformemente continue.
Funzione integrale con gli estremi che sono funzioni di classe C^1. Esempi.
Definizione di integrale improprio convergente, divergente e indeterminato. Esempi.
Materiale didattico:
Video(grezzo)
PDF della lavagna
Lezione 7
(23 Marzo 2020 - ore 11:00-13:00)
Il carattere di un integrale improprio non cambia pur cambiando l'estremo "buono".
Integrale improprio su (a,b) e sua buona positura. Esempi.
Integrali impropri con integranda a segno costante.
Criterio del confronto.
Criterio del confronto asintotico.
Esempi notevoli: integrale di 1/x^a e di 1/x^a*ln^b(x) su [2,+infty).
Materiale didattico:
PDF della lavagna
Ricevimento studenti
(23 Marzo 2020 - ore 14:00-16:00)
Si è svolto on line con le stesse modalità della lezione.
Lezione 8
(25 Marzo 2020 - ore 11:00-13:00)
Ulteriori esempi notevoli di integrali impropri con esempi di applicazione di criteri di confronto e confronto asintotico.
Se f e g sono integrabili in senso improprio su [a,b) allora lo sono anche tutte le loro combinazioni lineari.
Definizione di funzione assolutamente integrabile.
Se f e g sono assolutamente integrabili su [a,b) allora lo sono anche tutte le loro combinazioni lineari.
Criterio dell'assoluta convergenza.
Esempio di funzione f tale che su [a,+infty) converge l'integrale di f ma non quello di |f|.
Materiale didattico:
PDF della lavagna
Esercitazione 3
(25 Marzo 2020 - ore 14:00-16:00)
Sono stati discussi i problemi 1.d, 5.d, 6.d, 6.e, 6.f.
Materiale didattico:
Lista Problemi,
Risposte,
PDF grezzo della lavagna,
Lezione 9
(27 Marzo 2020 - ore 9:00-11:00)
Primitive di funzioni periodiche.
Criterio di convergenza per funzioni oscillanti.
Esempio di applicazione.
Esempi patologici: 3 funzioni integrabili su [0,+infty) che si comportano male per x->+infty.
Materiale didattico:
Video(grezzo)
PDF della lavagna
Lezione 10
(30 Marzo 2020 - ore 11:00-13:00)
Esempio di f,g:[a,+infty)->R, asintoticamente equivalenti i cui integrali tra a e +infty hanno caratteri diversi.
Criterio di Cauchy.
Esempio di applicazione del teorema di Cauchy.
Svolgimento dei problemi 3, 4 e inizio del 5 della prova simulata.
Materiale didattico:
Prova Simulata,
PDF della lavagna
Ricevimento studenti
(30 Marzo 2020 - ore 14:00-16:00)
Si è svolto on line con le stesse modalità della lezione.
Lezione 11
(1 Aprile 2020 - ore 11:00-13:00)
Serie: definizioni e primi esempi: serie di Mengoli, geometrica.
Proprieta' delle somme finite che non valgono per le serie.
Proprieta' elementari delle serie (vedi lista nel pdf della lezione).
Divergenza della serie armonica.
Criterio di Cauchy.
Esempio di utilizzo del criterio di Cauchy.
Materiale didattico:
Video(semi-grezzo)
PDF della lavagna
Esercitazione 4
(1 Aprile 2020 - ore 14:00-16:00)
Tenuta on line dal Tutor (svolti p.1,2,3 e 5)
Materiale didattico:
Prova Simulata,
Svolgimento,
Video Prob.2
Video Prob.4
per allenarsi vedere anche:
Lista Calcolo,
Lista Convergenza.
Lezione 12
(3 Aprile 2020 - ore 9:00-11:00)
Serie a termini positivi.
Criterio del confronto.
Esempi.
Criterio del confronto asintotico.
Esempi.
Criterio dell'integrale.
Esempi.
Criterio della radice.
Criterio del rapporto.
Esempi.
Materiale didattico:
Video(semi-grezzo)
PDF della lavagna
Lezione 13
(6 Aprile 2020 - ore 11:00-13:00)
Criterio della convergenza assoluta.
Esempi.
Criterio di Leibniz.
Esempi.
Criterio di Abel.
Esempi.
Materiale didattico:
PDF della lavagna
Ricevimento studenti
(6 Aprile 2020 - ore 15:00-17:00)
Si è svolto on line con le stesse modalità della lezione.
Lezione 14
(8 Aprile 2020 - ore 11:00-13:00)
Relazione tra esistenza del limite di a_(n+1)/a_n e limite della radice ennesima di a_n.
Criterio del "confronto di rapporti".
Esempi.
Studio di serie la cui sucessione dei termini e' definita in modo ricorsivo.
Riordinamento della serie armonica a segni alterni in modo da ottenere un limite fissato.
Materiale didattico:
PDF della lavagna
Esercitazione 5
(8 Aprile 2020 - ore 14:00-16:00)
Sono stati svolti i problemi 29, 30, 37, 44, 45, 46 e 47 della lista.
Materiale didattico:
PDF della lavagna,
Lista Problemi.
Risposte.
Lezione 15
(10 Aprile 2020 - ore 9:00-11:00)
Sono stati svolti i problemi 2, 5, 9, 3, 10, e 12 della lista.
Materiale didattico:
Lista Problemi.
PDF della lavagna
Lezione 16
(15 Aprile 2020 - ore 11:00-13:00)
Successioni di Funzioni, convergenza puntuale e uniforme (definizioni ed esempi).
Continuità si mantiene passando al limite uniforme.
Esempi di utilizzo per mostrare che convergenza non è uniforme.
Convergenza uniforme sui compatti del polinomio di Taylor ad e^x.
Materiale didattico:
PDF della lavagna
Esercitazione 6
(15 Aprile 2020 - ore 14:00-16:00)
È stata tenuta on line dal Tutor.
Materiale didattico:
Prova Simulata,
Svolgimento.
Lezione 17
(17 Aprile 2020 - ore 9:00-11:00)
definizione di B(I)=insieme delle funzioni limitate su I.
d(f,g)=sup|f(x)-g(x)| e' una distanza su B(I).
Successioni di Cauchy in B(I).
Completezza di B(I).
Completezza di C(I) quando I e' compatto.
Convergenza uniforme passa al lim sotto il segno di integrale mentre puntuale no.
Materiale didattico:
PDF della lavagna
Lezione 18
(20 Aprile 2020 - ore 11:00-13:00)
Esempi per vedere che la convergenza uniforme di funzioni derivabili non implica né la derivabilità
della funzione limite né la convergenza della successione delle derivate.
Teorema: Convergenza uniforme di f'_n + convergenza in un punto di f_n implica la convergenza uniforme di f_n.
Esempi.
Due casi in cui la convergenza puntuale implica quella uniforme (monotonia in x e monotonia in n di f_n(x)).
Materiale didattico:
PDF della lavagna
Ricevimento studenti
(20 Aprile 2020 - ore 15:00-17:00)
Si è svolto on line con le stesse modalità della lezione.
Lezione 19
(22 Aprile 2020 - ore 11:00-13:00)
Ripetuta la dimostrazione del teorema del Dini.
Esempio di applicazione.
Esempi di studio della convergenza uniforme per successioni del tipo f(x+1/n), con f lipschtziana o uniformemente continua.
Esempi di calcolo del limite di integrale di f_n.
Esempio di studio della convergenza di una successione di funzioni definita per ricorrenza.
Materiale didattico:
PDF della lavagna
Esercitazione 7
(22 Aprile 2020 - ore 14:00-16:00)
È stata tenuta on line dal Tutor.
Materiale didattico:
Lista Problemi,
Svolgimenti,
Lezione 20
(24 Aprile 2020 - ore 9:00-11:00)
Esempio di studio della convergenza di una (f_n) definita ricorsivamente a partire da un'equazione integrale.
Esistenza e unicità locale (semplificata) della soluzione di un'equazione integrale.
Materiale didattico:
PDF della lavagna
Lezione 21
(27 Aprile 2020 - ore 11:00-13:00)
Equazioni differenziali a variabili separabili.
Definizione di soluzione.
Esempio.
Teorema di esistenza e unicità locale (versione semplificata).
Esempio.
Teorema: due soluzioni dello stesso problema di Cauchy coincidono su tutto l'intervallo su cui sono definite entrambe.
Esempio in cui manca unicità.
Materiale didattico:
PDF della lavagna
Ricevimento studenti
(27 Aprile 2020 - ore 15:00-17:00)
Si è svolto on line con le stesse modalità della lezione.
Lezione 22
(29 Aprile 2020 - ore 11:00-13:00)
Definizione di prolungamento.
Definizione di soluzione massimale.
Teorema di Esistenza della soluzione massimale.
Esempi di ricerca di soluzioni massimali per equazioni a variabili separabili.
Un esempio di studio qualitativo.
Materiale didattico:
PDF della lavagna
Esercitazione 8
(29 Aprile 2020 - ore 14:00-16:00)
È stata tenuta on line dal Tutor.
Materiale didattico:
Prova Simulata,
Svolgimento,
Lezione 23
(4 Maggio 2020 - ore 11:00-13:00)
Ulteriori esempi di eq differenziali a variabili separabili.
Definizione di eq. differenziale lineare di ordine n, omogenea e non.
Teorema di esistenza e unicità per equazioni differenziali lineari.
Dimensione dello spazio delle soluzioni di eq. omogenea.
Soluzione generale di eq. non omogenea.
Esempio di soluzione di eq. lineare non omogenea del primo ordine.
Materiale didattico:
PDF della lavagna
Ricevimento studenti
(4 Maggio 2020 - ore 15:00-17:00)
Si è svolto on line con le stesse modalità della lezione.
Lezione 24
(6 Maggio 2020 - ore 11:00-13:00)
Soluzione generale per equazioni diff. lineari del I ordine omogenee e non omogenee; metodo della variazione delle costanti.
(questa prima parte e' nelle dispense della lezione 23)
Derivata di f:R->C, definizione, proprietà principali, derivata di e^(ax) con a complesso.
Richiamo sul teo. Fondamentale dell'algebra. Caso in cui i coefficienti del polinomio sono reali.
Definizione di eq. diff. lineari a coefficienti costanti, polinomio caratteristico e operatore lineare associato.
Teorema: l'operatore lineare dato dalla composizione di due operatori differenziali lineari a coeff. costanti ha come polinomio associato il prodotto dei due polinomi.
Corollario: la composizione di operatori differenziali lineari a coefficienti costanti è commutativa.
Materiale didattico:
PDF della lavagna
Esercitazione 9
(6 Maggio 2020 - ore 14:00-16:00)
È stata tenuta on line dal Tutor.
Materiale didattico:
Lista Problemi,
Soluzioni,
Lezione 25
(8 Maggio 2020 - ore 9:00-11:00)
Proprietà di calcolo degli operatori differenziali a coefficienti costanti del primo ordine.
Teorema sulla base per lo spazio delle soluzioni di un'equazione differenziale lineare a coefficienti costanti (sia caso complesso che caso reale)
Esempi.
Esempio introduttivo per le equazioni non omogenee.
Materiale didattico:
PDF della lavagna
Lezione 26
(11 Maggio 2020 - ore 11:00-13:00)
Esempio introduttivo al metodo degli annichilatori per determinare una sol. particolare di un'eq. lineare non omogenea
a coeff. costanti.
Metodo degli annichilatori: caso b(x)=q(x)e^(ax).
Metodo degli annichilatori: caso b(x)=q(x)e^(ax)cos(bx) (o sin(bx)).
Esempi.
Materiale didattico:
PDF della lavagna
Ricevimento studenti
(11 Maggio 2020 - ore 15:00-17:00)
Si è svolto on line con le stesse modalità della lezione.
Lezione 27
(13 Maggio 2020 - ore 11:00-13:00)
Matrice wronskiana.
Relazione tra determinante wronskiano e indipendenza delle soluzioni omogenea.
Metodo della variazione delle costanti (caso generale).
Esempio di applicazione.
Materiale didattico:
PDF della lavagna
Esercitazione 10
(13 Maggio 2020 - ore 14:00-16:00)
È stata tenuta on line dal Tutor.
Materiale didattico:
Lista Problemi,
Lezione 28
(15 Maggio 2020 - ore 9:00-11:00)
Sono stati svolti la maggior parte dei problemi della prova simulata sulle equazioni differenziali.
Materiale didattico:
Prova Simulata,
Soluzioni,
Lezione 29
(18 Maggio 2020 - ore 11:00-13:00)
Definizione di norma euclidea, norma 1 e norma infty, in R^n e verifica che sono davvero norme.
Distanze indotte dalle norme appena definite.
Intorni definiti a partire dalle distanze appena definite.
Equivalenza delle 3 norme.
Equivalenza delle basi di intorni definite attraverso le 3 norme.
Punti interni, esterni, di frontiera, di accumulazione, isolati (definizione ed esempi)
Definizione di insieme aperto, chiuso, denso, discreto, limitato.
Definizione di limite di una successione in R^n.
Teorema: calatterizzazioni equivalenti per gli insiemi chiusi.
Materiale didattico:
PDF della lavagna
Ricevimento studenti
(18 Maggio 2020 - ore 15:00-17:00)
Si è svolto on line con le stesse modalità della lezione.
Lezione 30
(20 Maggio 2020 - ore 11:00-13:00)
Equivalenza tra esisenza del limite di una successione in R^n e quella delle sue componenti.
Successioni di Cauchy in R^n: definizione ed equivalenza con convergenza.
Compatti in R^n: definizione ed equivalenza con chiusi e limitati.
Definizione di convessi, connessi e connessi per spezzate.
Equivalenza tra essere connesso ed essere connesso per spezzate nel caso di insiemi aperti.
Materiale didattico:
PDF della lavagna
Esercitazione 11
(20 Maggio 2020 - ore 14:00-16:00)
È stata tenuta on line dal Tutor.
Materiale didattico:
Lista Problemi,
Soluzioni,
Lezione 31
(22 Maggio 2020 - ore 9:00-11:00)
Definizioni di limite per funzioni da R^n a R^m (limite finito o infinito e per x->x_0 o x->\infty).
Definizione di funzione continua.
Esempi elementari.
Teorema operazioni sui limiti ed esempio di applicazione.
Teorema sulle restrizioni ed esempio applicazione.
Esempio cattivo: lim (xy^2)/(x^2+y^4).
Teorema del confronto ed esempio applicazione.
Materiale didattico:
PDF della lavagna
Lezione 32
(25 Maggio 2020 - ore 11:00-13:00)
Teorema Ponte.
Teorema sul limite della funzione composta.
Definizione di o-piccolo.
Esempi.
Osservazione sulle funzioni positivamente omogenee.
Teorema di Weierstrass sulle funzioni continue.
Materiale didattico:
PDF della lavagna
Ricevimento studenti
(25 Maggio 2020 - ore 15:00-17:00)
Si è svolto on line con le stesse modalità della lezione.
Lezione 33
(27 Maggio 2020 - ore 11:00-13:00)
Esempio di non esistenza limite.
Definizione di omeomorfismo.
Teorema sull'utilizzo degli omeomorfismi per i cambi di variabile nei limiti.
Esempio di utilizzo.
Limite (e continuità) componente per componente.
Esempio cattivo.
Esempio di utilizzo dell'algebra degli o-piccoli.
Materiale didattico:
PDF della lavagna
Esercitazione 12
(27 Maggio 2020 - ore 14:00-16:00)
È stata tenuta on line dal Tutor.
Materiale didattico:
Lista A Problemi,
Risposte,
Lista B Problemi,
Risposte.
Lezione 34
(29 Maggio 2020 - ore 9:00-11:00)
Teorema degli zeri.
Definizione di funzione uniformemente continua e di funzione lipschitziana (e legame tra le due cose).
Teorema di Heine Cantor.
Derivabilità (derivata direzionale e derivata parziale).
Esempi di calcolo.
Esempio di funzione derivabile ma non continua.
Differenziabilità.
Teorema: f differenziabile -> f continua e derivabile.
Gradiente.
Materiale didattico:
PDF della lavagna
Lezione 35
(1 Giugno 2020 - ore 11:00-13:00)
Esempi di funzioni differenziabili e non differenziabili.
Teorema del differenziale totale.
Funzioni di Classe C^1, definizione e relazione con differenziabilità.
Derivate seconde.
Teorema di Schwarz.
Esempi (sia buoni che cattivi)
Matrice Hessiana (simmetria in caso di continuità delle derivate miste)
Materiale didattico:
PDF della lavagna
Ricevimento studenti
(1 Giugno 2020 - ore 15:00-17:00)
Si è svolto on line con le stesse modalità della lezione.
Lezione 36
(3 Giugno 2020 - ore 11:00-13:00)
Matrice Jacobiana.
Teorema sulla derivata di funzioni composte: caso f(X(t)) con X:R->R^n e f:R^n->R.
Teorema sulla derivata di funzioni composte: caso f(X(t)) con X:R^k->R^n e f:R^n->R.
Teorema sulla derivata di funzioni composte: caso generale.
Materiale didattico:
PDF della lavagna
Esercitazione 13
(3 Giugno 2020 - ore 14:00-17:00)
È stata sostituita da una prova simulata on line che si è svolta, con
le stesse modalità dell'esame scritto, sul Team del corso.
Materiale didattico:
Prova Simulata,
Soluzioni,
Lezione 37
(5 Giugno 2020 - ore 9:00-11:00)
Svolgimento dei problemi della prova simulata del 3 giugno.
Materiale didattico:
PDF della lavagna,
Lezione 38
(8 Giugno 2020 - ore 11:00-13:00)
Sono stati svolti i problemi 1, 2, 5 e iniziato il 7, tutti della lista B.
Materiale didattico:
Lista A Problemi,
Risposte,
Lista B Problemi,
Ricevimento studenti
(8 Giugno 2020 - ore 15:00-17:00)
Si è svolto on line con le stesse modalità della lezione.
Lezione 39
(10 Giugno 2020 - ore 11:00-13:00)
Sono stati svolti i problemi 7, 3, 4, 8 e 9 della lista B.
Materiale didattico:
Lista A Problemi,
Risposte,
Lista B Problemi,
Esercitazione 14
(10 Giugno 2020 - ore 14:00-17:00)
È stata sostituita da una prova simulata on line che si è svolta, con
le stesse modalità dell'esame scritto, sul Team del corso.
Materiale didattico:
Prova simulata,
Soluzioni,
Lezione 40
(12 Giugno 2020 - ore 9:00-11:00)
Sono stati svolti alcuni dei problemi della prova simulata del 10 Giugno, comprese le spiegazioni di alcuni errori
fatti dagli studenti.
Materiale didattico:
Prova simulata,
Soluzioni,
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